高中数学——函数的单调性
教学目标
1.知识与技能：
(1)从形与数两方面理解单调性的概念。
(2)绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
2.过程与方法：
(1)通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。
(2)通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。
(3)经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
3.情感态度价值观：
通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;感受用辩证的观点思考问题。
教学重点
函数单调性的概念形成和初步运用。
教学难点
函数单调性的概念形成。
教学关键
展开全文
通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。
教学过程
(一)创设情境，导入新课
教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和 Y=X2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数?问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数?
学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小。在此基础上描述 Y=X2+1在(-∞，0]上y随x增大而减小，在(0，+∞)上y随x增大而增大。理解单调性是函数的局部性质，在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数;y随x增大而减小就是减函数。
设计意图：数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。
(二)初步探索，形成概念
教师活动：(以Y=X2+1在 (0，+∞)上单调性为例)让学生理解如何用精确的数学语言(随着、增大、任取)来描述函数的单调性，进而得到增(减)函数的定义。并进一步提出如何判断的问题。
学生活动：通过交流、提出见解，提出质疑，相互补充理解函数定义的解释，讨论表示大小关系时，理解如何取值，明白任取的意义。
设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。
(三)概念深化，延伸扩展
教师活动：提出下面这个问题：能否说f(x)在它的定义域上是减函数?从这个例子能得到什么结论?并给出例子进行说明：
进一步提问：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数，何时函数在A∪B上也是增(减)函数，最后再一次回归定义，强调任意性。
学生活动：思考、讨论，提出自己观点，并提出反例，如 X1=-1， X2=1，进而得出结论：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数，函数在A∪B上不一定是增(减)函数将函数图象进行变形(如x<0时图象向下平移)。
设计意图：通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。
(四)证明探究，应用定义
教师活动：展示例题
例1：证明函数
在( 0，+∞)上是增函数
证明：任取 X在(0， +∞)上是增函数。
进一步提问：如果把(0，+∞)条件去掉，如何解这道题?要求学生课后思考。
学生活动：根据单调性定义进行证明、讨论，规范出证明步骤：设元、作差、变形、断号、定论，理解根据定义进行判断，体会判断可转化成证明并完成课后思考题。
设计意图：本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。
(五)小结评价，作业创新
教师活动：从知识、方法两个方面引导学生进行总结，留出如下的课后作业(1、2、4必做，3选做)：
1、证明：函数在区间[0，+∞)上是增函数。
2、课上思考题
3、求函数的单调区间
4、思考P46探索与研究
学生活动：回顾函数单调性定义的探究过程、证明、判断函数单调性的方法步骤和数学思想方法，完成课后作业。
设计意图：使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义，并且作业实现分层，满足学生需求。
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