高等数学论文（什么是高等代数吗）_数学_线性_向量

本文目录

• 什么是高等代数吗
• 有人说西方人基础数学差，那他们靠什么研究高等数学的
• 大一的高等数学好难，要怎么学
• 国际经济与贸易专业要学高等数学么
• 要想成为一名顶尖的程序员，要学习高等数学吗

什么是高等代数吗

解方程是《初等代数》的主要内容，代数方程根据 未知数的个数 和 次数 分为两个方向：

• 多元一次方程组
• 一元多次方程

《高等代数》就是对这两个方向，继续深入研究，发展出来的。

☆ 对于 多元一次方程组 的研究 产生了 线性代数，分如下阶段：

• 阶段1：从 解方程 到 向量空间。

多元一次方程组 也称为 线性方程组，形式如下：

数学家从中，总结出，m维向量的概念：

接着又 把所有m维向量 放在一起 得到 m维向量空间，记为 ℝᵐ，并进一步研究出多种关于向量空间的知识：线性表示、线性无关、秩、向量的加法、数乘，等，以及 点乘（内积）:

然后，又由多个向量拼接出了 矩阵：

并总结出 矩阵的 转置， 加减法，等，以及乘法：

这样 线性方程组 就可以表示为 矩阵相乘的形式：

再对其求解过程进行分析，发现了 行列式：

以及，著名的 克莱姆法则。

行列式 还有助于 求解 矩阵的 逆阵！

• 阶段2：从 向量空间 到 线性空间：

数学家从 向量空间 中 总结出了 八个条件，凡是 满足 这八个条件的 空间 将和 向量空间 的性质 一致， 称其为 线性空间。

根据 研究向量空间的性质，可知：线性空间 V 中的 极大线性无关元素组 {ε₁, ε₂ , ⋯ , ε_m} （被称为 向量空间的一组基），可以用来线性表示 线性空间中的任意元素 α = a₁ ε₁ + a ₂ε₂ + ⋯ + a_mε_m，其线性表示的系数构成一个 向量 a = (a₁, a₂, ⋯, a_m)，也就是说 取定 一组基 {ε₁, ε₂ , ⋯ , ε_m}，则 线性空间 V 中 的 每一个元素 α 和 一个向量 a 一一对应，于是 我们 依然称 线性空间的元素 α 为 向量，而将 其对应向量 a 的维度 m（也就是 基的个数）定义为 线性空间 V 的维度。

线性空间的出现，标志着数学抽象化进程的开端。

接着，数学家对 线性空间 之间的 能保持 向量的加法和数乘的 线性映射 进行了深入研究，其中的最重要发现是：

一旦线性空间 的基取定，则 线性映射 和 矩阵 一一对应，线性映射的复合就是 对应矩阵 的乘法。

与之类似，数学家还研究了， r 个 线性空间 到 实数域 ℝ 的 能保持 向量的加法和数乘的 r重线性函数，从而有了：二重对称线性函数——二次型 的知识，并且 还发现： n阶 行列式 就是 n 维线性空间 上的 使得 det(E) = 1 的 唯一 n重反对称线性函数 det。

• 阶段3：从 线性空间 到 内积空间：

将，向量的点乘运算，引入 线性空间，就称为 内积空间，在 内积空间 内 可以进一步定义：正交、共轭 等概念。

从 内积 分别导出 距离 和 范数，使得 内积空间 变为 距离空间 和 赋范线性空间，以及具有了 完备性问题。

将 内积定义 扩展到 复数域 之上，得到 酉空间。

• 阶段4： 从 线性代数 到 四面开花：

第一朵花，继续研究 线性映射 和 矩阵，发展出了 《矩阵分析》；第二朵花，继续研究 线性函数，发现了： 对偶空间、张量、外代数，这些内容称为 多重线性代数，并被用于 《黎曼几何》；第三朵花， 继续研究 内积空间 就有了： Banach 空间 和 Hilbert 空间，从而发展出 《泛函分析》；第四朵花， 借助 向量空间 来研究 几何空间：仿射空间 和 射影空间，这之后发展出 《代数几何》。

☆ 对于 一元多次方程 的研究 产生了 抽象代数：

一元多次方程，也称为 一元多项式方程， 形式如下：

早在 阿拉伯数学昌盛的 时代，古代数学家 就 推导出了 一元二次 方程 ax² + bx + c = 0 的 求解公式：

文艺复兴后，欧洲数学家 先后 发现了 一元三次方程 和 一元四次方程 的 求解公式，可是 直到 18世纪 数学家还是 没有找到 一元五次方程的 求解公式。

Abel 是第一个证明： 一元五次方程 是没有 根式解的，之后 Galois 进一步 证明了 一元方程 在什么情况下有 根式解：

域 F 上 一元n次方程 f(x) 有根式解 当且仅当 Galois 群 Gғ(f) 是一个可解群。

为此，Galois 先后建立的 《群论》《环论》《Galois 理论》， 这组成了《抽象代数》，从此 数学 真正进入了 抽象时代。

《高等代数》，含有 群、环、域， 的 初步 知识，以及 一元多项式环 和 多元多项式环，这些都是 为 之后的 《抽象》 学习做准备。在《抽代》中，线性空间 是 模 的 特例，即，域上的模，所以前面线性代数部分，同样是 《抽代》 的基础。

总结：

《高等代数》和《高等数学》（《数学分析》）一样 是 进入专业数学领域 的入门课程，主要包括：线性代数 和 抽象代数初步 两部分内容，同学们将从中领会到 数学抽象的魅力！

（以上是小石头个人对《高等代数》的理解，由于数学水平有限，观点难免偏薄，仅供各位参考！）

有人说西方人基础数学差，那他们靠什么研究高等数学的

本文高爆，做好准备！

1、到底是西方人基础数学强，还是东方人基础数学强？

假如数学分为十个等级的话，在一二等级毫无疑问，是中国强；在二等级之外，很遗憾是西方强！

假如数学可以分为基础数学实际运用和高等理论研究俩种，那么中国人在基础数学实际运用方面强，但是又在高等数学研究方面弱。

假如数学可以分为普通人数学和顶级数学人才的话，毫无疑问中国人在普通人数学的层面上强，在顶级数学人才的层面上弱。

看完这些，你就明白了，为什么我们有大量科技公司要在海外招募数学家了。

2、为什么如此说？

因为中国数学教学的目标，一方面就是为工业化提供了大量合格的劳动力，另外一方面，数学是一个在普通人中遴选人才的机制！

想一想，很多高中数学不好的人，基本上不可能考上985了，对不对？这确实是一个选择淘汰机制，是面对所有学生的！

但是西方与我们不同，只有富裕阶层和普通家庭的尖子生才面对数学，而这些孩子很早就不在低等分段混了，很快就进入高等分段。也就是说，西方的数学其实就是一个阶级壁垒，普通家庭的普通孩子基本接触不到数学，他们连课本都跟富裕阶层的不一样。

也就是说西方富裕阶层的孩子和普通家庭尖子生很早就进入数学快车道，来到了数学前沿，他们不在低分段混太久。

3、再回到中国，我们其实在初级数学方面投入了太多时间。

等你考上大学了，回头看看高中和初中的数学，看看以前的辛辛苦苦记得那些技巧，你会发现你记得都是无关紧要的初级知识、繁杂偏门的计算技巧、细枝末节的特殊结论，你完全可以用大学数学知识完成降维打击，直接几个公式到底得出答案，对不对？

有了新的理念，看以前的问题那就是降维打击，快刀斩乱麻。

4、问题出现了，既然有了更好的理念，干嘛不让学生使用，非要在低维度使劲琢磨技巧呢？

就好比大家明明可以有更好的装备去打大怪，却要求大家拿着初级装备去打小野怪？

你看看很多小学、初中题目，连我们很多数学教授都不知道答案，但是我们就是让孩子们在这种题目上反复练习，小本本上记满了各种推导技巧，

有专家解答说这是训练孩子们的数学思维，

很遗憾，我们看到的结果往往就是大部分孩子经过如此这般训练后，都对数学望而生畏，再也提不起兴趣来了。

数学，原本是一个有着非常有活力的领域，它原本可以让孩子为之着迷的领域，

早点让孩子接触到高等数学，早点让孩子们可以接触到前沿数学，早点让孩子们不必有标准答案，早点让孩子们可以取得成就感，早点让孩子们可以跟专家同场竞技，我们要产生多少天才啊，数学本来就是天才的爆发区.....

但是真的，现实太遗憾了，大量的孩子就像那早已经刷满经验值的玩家，早该进入大怪区了，但是他们被堵在系统门口，只能拼命刷小怪，然后等着被选拔。

选拔之后，早已经被题海折磨的对数学提不起兴趣的他们，从此跟数学一刀俩段，再见了您奈！

13岁到18岁，正是人对外界最感兴趣的阶段，也是天才的爆发期，可惜他们就这么错过了。以至于我们要数学家，都要去外国找！

5、为什么我们要把孩子关在低分段刷怪？

我们的初中高中数学知识100多年前就已经非常成熟了，它有一套完整的考试模式和题库，还有标准答案，这就非常适合考试，那么就用它来对学生先分层吧。

假如不在低分段把孩子们分出来子丑寅卯来，我们的高等教育资源又非常有限，那么到底谁该进入大学呢？难道像西方一样，看血统、种族？还有就是是看家庭、看背景？

对不起，我们只看分数，为了阶层流通，为了给平民孩子希望。

但是只看分数的结果就是，高考不考的课堂上不教，课标就成了事实上的最高标准，而不是最低标准！

结果就是那么大家先在低分段分出胜负吧，

朋友们，我们先内卷，然后上了岸，有了文凭，找个工作，结婚生子，财米油盐，房车孩子，三十而立后，再谈兴趣爱好吧。

高考是战场，是千军万马过独木桥，一点不夸张！

所有一切的一切，都是为了公平！这就是我们特殊的国*情！

6、但是钱学森之问来了，为什么我们培养不出顶尖科学家？

答案很简单，你不许学生早一点升级学习，尤其在数学上！

为了公平，为了分数，为了考试，大家在扁平的知识区内卷太久，已经形成了思维定式！

你要是打开知识升级，那么谁家的孩子该上这个跑道？到时候一定是富裕家庭获胜，接下来就是阶级固化.....穷人再无翻身可能！

鱼和熊掌不可兼得，我们选择了公平道路，就放弃了培养天才的道路！

内卷太久，低分段时间太长。我们的孩子在同样的年龄段还在刷题，西方的富裕阶层和天才孩子已经在高阶段位探索已久，相同的年龄，或许我们的孩子已经落后，然后就是我们的孩子对数学的兴趣没了，

记住长时间枯燥乏味的低段位练习，最扼杀天才，尤其是人的13岁到18岁的年龄段！

7、为什么外国人来到中国，感觉普通中国人数学厉害？

因为我们的初中高中数学知识非常适合工业化。普通人学的数学足够他们在生活和生产中运用了，对不对？

但是这是低阶段数学，说白了就是工匠和记账先生的知识，很多普通人都有了！

因为我们在这方面，确实投入非常多的时间！

8、西方人如何研究高数学的？

相信我已经给了答案，那就是早早地通过阶层壁垒和天才培育计划，把适合搞数学的人挑选出来，让他们更快的通过数学的低阶阶段，进入到数学的高阶阶段。

同时给予种种激励措施和硬件、软件辅助，让他们更可以对数学专注，更加出成果！

9、（番外篇）

数学是干嘛的？

很遗憾，太多人不清楚数学家是干什么的，包括数学领域之外的很多领域精英！

中国人普遍认为数学就是小学数学，初中数学、高中数学、奥数、大学数学，仅此而已！

但是数学不光以上的呀，它还包括复变函数、泛函分析、拓扑学、计算复杂性理论等等，

很多人对于数学的严重偏见，是由不当的数学教育造成的，他们把数学当成了工具书和敲门砖，掐头去尾，变成了快餐！

但是实际上数学每个定理都有它的故事，都有它的演化过程，都有它的理念优势，它有血有肉有灵魂有光辉，然而我们的数学却干燥了，没有人性的光辉，没有血肉，没有思想的碰撞，吸引不了人！

著名教授陈省身先生说过:数学是一切科学的基础，数学的训练普遍的有用！

数学是很多学科的基础，比如逻辑学、物理学、化学、统计学、信息科学、运筹学、密码学、管理学、计算机科学、经济学、博弈论、金融学、精算学、生命科学、医学、机械学等等，还涉及了地理、军事、政治、人口、外交等其他大方面。

一个人的数学素质的标志并不是数学知识的多少，而是数学理念的高度，理念的提升，远比技巧的提高重要。

就好比去升级换代装备，远比在原地打小怪重要；就好比及时更换长枪短炮，要比依然耍大刀长矛重要！

大一的高等数学好难，要怎么学

感觉大一的高等数学好难，找出主客观原因，对症下药：

一.客观原因：

1.高数教材的冷面孔与高数内容的抽象性

高数教材中，为了兼顾学科逻辑体系，一般先给出概念、定义，接着列举相关性质及定理证明等内容，这些知识用数学语言描述比较准确，但和生活中的语言相比就抽象多了.如极限的“”定义,函数的有界性等.严密的逻辑性和高度的抽象性的特点，客观上决定了高数学习需要静心思考，在浮躁的心态下，很难把高数学踏实.

2. 学习内容的增多与学习方式的不适应

刚度过高三的新大学生，大多都有松口气的思想，面对高等数学第一个难点（也是一个重点--第一章的函数的极限与连续），从思想上到学习方法上都没有做好必要的准备.以至于学习了一段时间后，产生的问题越来越多，慢慢地出现了畏难情绪.

3.合堂上课，课堂练习少，教学互动少

中学阶段的数学课堂，主要采取老师讲为主，同学练为辅的教学模式。一般高中老师先讲清楚书上的概念定义，给出一些例题，同学在课堂上练习之后，再做些家庭作业用于巩固。还有周考、月考、期中、期末考等，这些过程实际上都是围绕着教学内容进行的知识巩固、强化、反复和提高.也就是说老师给你一种方法，你不断地加以练习直至掌握；而高等数学各种各样的定义性质及证明特别多，课堂上老师讲课速度也比较快。教学环节中缺少练习和消化吸收的过程（主动性、自律性强的同学还能及时练习巩固，很多同学习惯中学的学习方式，等待老师领着做题练习），学生不能及时巩固所学知识，而高数又有很强的前后联系，慢慢积累问题增多，高数就成了多数学生的学习中的障碍。

二.应对方法

1.熟练基本初等函数的图像和性质

函数是微积分的研究对象。微积分的三大基本运算都是围绕函数来进行，要对基本初等函数的图像和性质非常熟悉，特别是三角函数的恒等变形、反三角函数的图像和性质（高中对反三角函数几乎不做要求，要及时补充加深反三角函数的知识），才能进一步掌握各类初等函数和非初等函数（分段函数及各类新型的函数表达方式）.

2.抓住开始学高数的关键点--极限

极限是微积分的工具，是高数学习中的一个重点，也是一个难点，它贯穿于整个微积分的学习过程。大一新生开始就要面对这一重难点。高等数学与高中数学有一定的联系，但侧重点不同。高等数学重点讨论的是变量的函数变化关系及极限状态，以自变量的变化为例，就有以下不同方式，稍一疏忽就会得出错误结论.

3. 学好了极限，函数微分学就比较容易了。

导数、微分、定积分、级数的敛散性和判断方法、多元函数的相应概念都是用极限定义的，教材中对基本导数公式，都是用极限和导数法则进行了系统的推导，只要熟记公式和复合函数导数法则，一般就能较好的掌握函数的导数、微分及其应用问题。准备考研的同学还要对微分中值定理、积分中值定理及泰勒级数下点功夫，要理解定理推导的思路和原理，并能应用于类似问题的证明。

4. 高数的第二个难点是各类不定积分的计算。

学习时需要做一定量的基本题型，特别要对三大积分方法非常熟悉（凑微分法、分部积分法和第二类换元积分法），要对常见的题型及特点进行梳理（但也并不需要钻研过多的难题）。掌握了各类典型不定积分的计算，就可为后面的定积分和多元函数微积分打下良好的基础，整个微积分就容易通过了。

5. 要注意主动运用遗忘规律曲线进行复习和巩固

从一开始就积极认真对待高数的学习，抓住极限这个关键点，熟悉不定积分的常见的题型、特点及运算，你就一定能学好高等数学。

如果对你有所启发和帮助，就转发并点赞支持一下，我会更努力地为你的高数学习提供帮助。

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国际经济与贸易专业要学高等数学么

国际经济与贸易专业课程设定各个学校可能有些不一样，以上海交通大学国际经济与贸易专业双学位为例，请注意是第二学位，要比第一学位简单不少。数学分析，线性代数，数理方法，概率论与数理统计等都是都是作为工科和经管学院的基础课程，但是和金融学这些专业不同，国际经济与贸易专业对数学的要求是偏低的，其中最重要的也是最低要求就是统计学。

国际经济与贸易专业主干课程包括：

宏微观经济学

管理学原理

会计学

市场营销学

统计学

国际金融

• 课程参考书：《国际经济学理论与政策》下册，克鲁格曼

• 大卫•艾特曼(David Eiteman)等 《国际金融 》（Multinational Business Finance）, 第12版，机械工业出版社，刘园等译

• Thomas L. Friedman，《The World Is Flat》

国际贸易理论与政策

• 教材：保罗·克鲁格曼，《国际经济学》上册，国际贸易部分（第8版中文），中国人民大学出版社，2011年

• 参考：P. Krugman, M. Obstfeld, International Economics, 8th Edition, Tsinghua University Press, 2011.

世界贸易组织概论

• 世界贸易组织概论（第2版）， 主编：薛荣久，高等教育出版社

• 世界贸易组织概论，主编：张汉林，北京师范大学出版社

国际商法

国际贸易实务

• 《进出口贸易实务教程》吴百福 徐小薇主编 上海人民出版社，2011

• 《进出口业务教程》宫焕久 许源主编 上海人民出版社，2011

• 《国际贸易实务》 黎孝先 王健主编 对外经济贸易大学出版社，2011
  

以上是部分主干课程及教材，希望我的回答对你所有帮助。

要想成为一名顶尖的程序员，要学习高等数学吗

很多高校的计算机专业都会开设高等数学课程，这足以说明高等数学的重要性了吧！且不说编程中会应用到很多函数知识，高等数学的学习本身也是一个锻炼逻辑思维的过程。对程序员而言，逻辑思维是编码过程中必不可少的，代码缺乏逻辑性极易出现bug，并且维护的成本也非常高。顶尖程序员的逻辑性一定是相当强悍的，不一定看高等数学，但只会比这更高级。