2023年2月1日，黑龙江哈尔滨三中的一模考试正拉开帷幕，其数学卷的填空压轴小题有点难！
哈三中一模填空压轴为小综合题，它集椭圆、双曲线为一体，焦点、离心率为工具，向量和内心为切入点的参数问题。
至于第二问的求最值，要充分运用内外角平分线性质定理，同时要有构造函数的意识，更要有上一问的结论为下面问题服务的意识。
具体详解如下：（1）由椭圆、双曲线的定义易知c²＝a²－b²，c²＝m²＋n²。
又中焦点公式知，PF₁＋PF₂＝2a，PF₁－PF₂＝2m，即有PF₁＝a＋m，PF₂＝a－m。
再利用余弦定理，知F₁F₂²＝PF₁²＋PF₂²－2PF₁×PF₂×cos60°，即4c²＝(a＋m)²＋(a－m)²－2(a＋m)(a－m)×1／2，则有
4(m²＋n²)＝a²＋3m²。
再利用离心率公式，知e₁＝c／a，e₂＝c／m，则有e₁²＝c²／a²＝(a²－b²)／c²，e₂²＝c²／m²＝(m²＋n²)／c²。
所以，易得1／e₁²＋3／e₂²＝4。
（2）由I是内心，则PA为△PF₁F₂的一个内角的平分线。
又∠F₁PF₂＝60°，而由两向量积为0的特征知其有垂直联系，即∠IPG＝90°，从而易知∠F₂PB＝60°（显然PF₂与F₁G的交点为△F₁PB的内心）。
设E为F₁P延长线上一点，由平角联系知∠BPE＝60°，即PB为∠F₂PE的平分线，则PB为△PF₁F₂的一个外角的平分线。
由内、外角平分线性质定理，易知|AF₁|／|AF₂|＝|PF₁|／|PF₂|，|BF₂|／|BF₁|＝|PF₂|／PF₁|。
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所以，μ＝|BG|／|GP|＝|BF₁|／|PF₁|＝|BF₂|／|PF₂|＝(|BF₁|－|BF₂|)／(|PF₁|－|PF₂|)＝2c／2m＝e₂，
λ＝|AI|／|IP|＝|AF₁|／|PF₁|＝|AF₂|／|PF₂|＝(|AF₁|＋|AF₂|)／(|PF₁|＋|PF₂|)＝2c／2a＝e₁。
故λ²＋μ²＝e₁²＋e₂²。
又由（1）知，1／e₁²＋3／e₂²＝4，即（1／e₁²＋3／e₂²）／4＝1。
因此，λ²＋μ²＝e₁²＋e₂²＝(e₁²＋e₂²)×1＝(e₁²＋e₂²)（1／e₁²＋3／e₂²）／4＝(1＋3＋e₂²／e₁＋3e₁²／e₂²)／4≥(4＋2√3)／4＝1＋√3／2（当且仅当e₂²／e₁²＝√3时，取等号）。
即λ²＋μ²的最小值为1＋√3／2。
附哈三中2023年高三学年第一次高考模拟考试数学试卷
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