哈三中2023数学一模填空压轴题详解_外角_定理_平分线

2023年2月1日,黑龙江哈尔滨三中的一模考试正拉开帷幕,其数学卷的填空压轴小题有点难!

哈三中一模填空压轴为小综合题,它集椭圆、双曲线为一体,焦点、离心率为工具,向量和内心为切入点的参数问题。

至于第二问的求最值,要充分运用内外角平分线性质定理,同时要有构造函数的意识,更要有上一问的结论为下面问题服务的意识。

具体详解如下:(1)由椭圆、双曲线的定义易知c²=a²-b²,c²=m²+n²。

又中焦点公式知,PF₁+PF₂=2a,PF₁-PF₂=2m,即有PF₁=a+m,PF₂=a-m。

再利用余弦定理,知F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁×PF₂×cos60°,即4c²=(a+m)²+(a-m)²-2(a+m)(a-m)×1/2,则有

4(m²+n²)=a²+3m²。

再利用离心率公式,知e₁=c/a,e₂=c/m,则有e₁²=c²/a²=(a²-b²)/c²,e₂²=c²/m²=(m²+n²)/c²。

所以,易得1/e₁²+3/e₂²=4。

(2)由I是内心,则PA为△PF₁F₂的一个内角的平分线。

又∠F₁PF₂=60°,而由两向量积为0的特征知其有垂直联系,即∠IPG=90°,从而易知∠F₂PB=60°(显然PF₂与F₁G的交点为△F₁PB的内心)。

设E为F₁P延长线上一点,由平角联系知∠BPE=60°,即PB为∠F₂PE的平分线,则PB为△PF₁F₂的一个外角的平分线。

由内、外角平分线性质定理,易知|AF₁|/|AF₂|=|PF₁|/|PF₂|,|BF₂|/|BF₁|=|PF₂|/PF₁|。

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所以,μ=|BG|/|GP|=|BF₁|/|PF₁|=|BF₂|/|PF₂|=(|BF₁|-|BF₂|)/(|PF₁|-|PF₂|)=2c/2m=e₂,

λ=|AI|/|IP|=|AF₁|/|PF₁|=|AF₂|/|PF₂|=(|AF₁|+|AF₂|)/(|PF₁|+|PF₂|)=2c/2a=e₁。

故λ²+μ²=e₁²+e₂²。

又由(1)知,1/e₁²+3/e₂²=4,即(1/e₁²+3/e₂²)/4=1。

因此,λ²+μ²=e₁²+e₂²=(e₁²+e₂²)×1=(e₁²+e₂²)(1/e₁²+3/e₂²)/4=(1+3+e₂²/e₁+3e₁²/e₂²)/4≥(4+2√3)/4=1+√3/2(当且仅当e₂²/e₁²=√3时,取等号)。

即λ²+μ²的最小值为1+√3/2。

附哈三中2023年高三学年第一次高考模拟考试数学试卷

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