2013年高考数学压轴题,隐零点问题,学霸:就这?_函数_导数_极值

大家好!本文和大家分享一下这道2013年全国高考理科数学压轴题。2013年全国卷与现在的全国卷的设置稍微有点不一样,2013年全国卷的选做题是3选2,而现在旧高考省份全国卷的选做题是2选1。213年这道压轴题考查的是导数的计算、导数与函数的极值、导数与函数单调性以及隐零点问题,题目难度不算大,不少学霸直言:就这?

先看第一小问:求m的值及判断f(x)的单调性。

在高中阶段,我们求极值的一般步骤是:先求导,再令导数等于零并解出x的值x0,然后判断x0两侧导数的正负。也就是说,在高中阶段,导数为零的点不一定是函数的极值点,但极值点处的导数值为零(事实上,导数不存在的点也可能是函数的极值点,只是高中不考虑这种情况)。

回到题目,由于x=0是函数f(x)的极值点,所以f'(0)=0。由f(x)=e^x-ln(x+m)可得,f'(x)=e^x-1/(x+m),所以f'(0)=1-1/m=0,解得m=1。

根据函数的解析式可知,函数f(x)的定义域为(-1,+∞)。而f'(x)=e^x-1/(x+m)在定义域内是增函数,且f'(0)=0,所以当-1<x<0时,f'(x)<0,此时f(x)为减函数;当x>0时,f'(x)>0,此时f(x)为增函数。

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再看第二小问:证明命题。

要证明f(x)>0,只需要证明f(x)的最小值大于零即可。

由函数f(x)的解析式可知,f(x)的定义域为(-m,+∞)。当m≤2时,有e^x-ln(x+m)≥e^x-ln(x+2)①,即f(x)的最小值一定在m=2时取得。也就是说原命题就转化为证明函数y=e^x-ln(x+2)的最小值大于零,所以接下来就需要求出函数y=e^x-ln(x+2)的最小值。

求导,得y'=e^x-1/(x+2)。该导函数在(-2,+∞)上是增函数,且f'(-1)=1/e-1<0,f'(0)=e-1/2>0,那么f'(x)在(-2,+∞)上有唯一零点x0,且-1<x0<0。所以f'(x0)=0,即e^x0-1/(x0+2)=0,故e^x0=1/(x0+2),两边同时取自然对数,得到x0=-ln(x0+2)。

当-2<x<x0时,f'(x)<0,此时f(x)为减函数;当x>0时,f'(x)>0,此时f(x)为增函数。所以当m=2时,f(x)的最小值为f(x0)=e^x0-ln(x0+2)=1/(x0+2)+x0。通分并配方后可以得到f(x0)>0,所以f(x)≥f(x0)>0。

这道题虽然考到了隐零点问题,但是也是比较基础的隐零点问题,对学霸来说确实比较简单。

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