2023年山东东营中考数学第25题（最后一题），此题是三角形为背景的综合题。主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形斜边中线的性质等知识。倍长中线是解决中点问题的常用方法。此题综合性强，难度适中。
25．（12分）已知点
O
是线段
AB
的中点，点
P
是直线
l
上的任意一点，分别过点
A
和点
B
作直线
l
的垂线，垂足分别为点
C
和点
D
．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点
P
与点
O
重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”
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OC
和
OD
的数量联系是
（2）[探究证明]如图2，当点
P
是线段
AB
上的任意一点时，“足中距”
OC
和
OD
的数量联系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点
P
是线段
BA
延长线上的任意一点时，“足中距”
OC
和
OD
的数量联系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠
COD
＝60°，请直接写出线段
AC
BD
OC
之间的数量联系．
思路分析：第（1）问，送分题。第（2）问，延长CO交BD于点E，可证△AOC与△BOE全等，得OC=OE，OD是直角△CDE的中线，所以OD=OC=OE，问题解决。第（3）问，①延长CO交DB延长线于点E，方法同（2），结论依然成立；②OD=OC，∠
COD
＝60°，所以△
COD
是等边三角形，tan∠DCO=tan60°=。
解题思路：
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