大家好！本文和大家分享一下这道2015年四川高考理科数学的压轴题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数的单调性、导数与函数的极值、导数与函数的零点等知识。这道题第二小问的难度非常大，但大胆猜测小心求证找到突破口是解题的关键。
先看第一小问：讨论g(x)的单调性。
讨论复杂函数的单调性，我们通常借助导数来展开。即先对需要讨论的函数求导，然后判断导数值的正负，再根据导数为正是增函数，导数为负是减函数的判断标准即可得到原函数的单调性。
不过，在讨论函数单调性时，很多同学容易犯一个错误，那就是忽略了原函数的定义域，从而导致单调区间变大。
回到题目。通过f(x)的解析式可知，f(x)的定义域为(0,+∞)。对f(x)求导，得到g(x)=f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+a/x)，所以g'(x)=22/x-2a/x^2。
接下来就需要讨论g'(x)的正负。先将g'(x)通分，然后对分子进行配方。从而得到g'(x)=[2(xc1/2)^2+2(a-1/4)]/x^2。显然，g'(x)的正负只与分子有关，而与分母无关。
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由于2(x-1/2)^2≥0，所以当a≥1/4时，g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即此时g(x)为增函数。当0＜a＜1/4时，a-1/4＜0，令g'(x)=0，解得x=[1±√(1-4a)]/2。当[1-√(1-4a)]/2＜x＜[1+√(1-4a)]/2时，g'(x)＜0，此时g(x)为减函数；当0＜x＜[1-√(1-4a)]/2或x＞[1+√(1-4a)]/2时，g'(x)＞0，此时g(x)为增函数。
再看第二小问：证明。
这一问的难度非常大，但是f(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，那么只需要f(x)在区间(1,+∞)上的最小值为0即可。而这个区间是一个开区间，所以最小值也就是极小值，从而转化为函数的极值问题。在高中阶段，看到函数的极值，就应该想到极值点处的导数值为零，从而就可以利用这一点将a表示出来，然后再将a代入f(x)，构成一个新的函数。接下来研究这个新函数，就可以证明题干的结论。
这道题的第二小问的难度确实比较大，但是作为压轴题，也并不是要求所有人都能做出来。不过，一般学生还是需要将第一小问做出来，毕竟第一小问的难度并不大。
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