大家好！本文和大家分享一道2007年天津高考数学真题。这是一道导数综合题，考查了导数的计算、导数的几何意义、导数与函数的极值、利用函数单调性解不等式等知识。虽然考查的知识看似很多，但是题目的时候其实并不大，很多学霸直言这就是送分题。
先看第一小问：求曲线的切线方程。
求曲线的切线方程，通常需要用到导数的几何意义。即曲线在x=a时的导数实际上就是曲线对应点处的切线的斜率。
由于a=1，则f(x)=-x^3+2x^2-x，所以f(2)=-2，且f'(x)=-3x^2+4x-1，故f'(2)=-5。接下来用直线的点斜式方程求切线方程，即有y+2=-5(x-2)，整理后得到所求切线方程为5x+y-8=0。
再看第二小问：求函数f(x)的极值。
在高中阶段求函数的极值，我们通常先求导，找到导数值为零的点，然后再判断导数在该点两侧的正负，也就是判断函数在该点两侧的单调性。如果在该点左侧的导数值为负，即函数为减函数，同时右侧的导数值为正，即函数为增函数，那么函数在该点取得极小值。如果左侧的导数值为正，即函数为增函数，同时右侧的导数值为负，即函数为减函数，那么函数在该点处取得极大值。
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回到题目。先求导，并对导函数因式分解，得到f'(x)=-(3x-a)(x-a)。令f'(x)=0，解得x=a/3或x=a。
接下来我们就需要根据a/3与a的大小关系来进行分类讨论。
由于a≠0，所以当a＞0时，a＞a/3，所以此时可以分为(-∞,a/3)、a/3、(a/3,a)、a、(a,+∞)五段来处理。当a＜0时，a＜a/3，此时可以分为(-∞,a)、a、(a,a/3)、a/3、(a/3,+∞)五段来讨论。最后再分别求出极大值和极小值即可。
最后看第三小问：证明。
我们先看一下这个不等式，如果直接代入f(x)的解析式表示出来，那么会非常的复杂。在这种情况下，我们可以考虑利用函数的单调性来处理。
当-1≤k≤0时，k-cosx≤1，k^2-(cosx)^2≤1。而当a＞3时，a/3＞1，根据第二小问可以知道，当a＞0时，函数f(x)在(-∞,a/3)上是减函数，所以此时函数f(x)在(-∞,1]是减函数。于是，原不等式就可以转化为k-cosx≤k^2-(cosx)^2，移项得到k^2-k≥(cosx)^2-cosx。原不等式恒成立，就等价于k^2-k大于等于(cosx)^2-cosx的最大值。即k^2-k≥2，解得k≥2或k≤-1。又-1≤k≤0，所以当k=-1时，原不等式恒成立。
作为一道导数综合题，本题的难度确实不大，你觉得呢？
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