题型一：归一问题
【含义】在解题时先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
【数量关系】
总量÷份数=单一量
单一量×所占份数=所求几份的数量
或 总量A÷（总量B÷份数B）=份数A
【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例】买5支铅笔需要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
解：先求出一支铅笔多少钱——0.6÷5=0.12（元）
再求买16支铅笔需要多少钱——0.12×16=1.92（元）
综合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）
题型二：归总问题
【含义】解题时先找出“总数量”，再根据已知条件解决问题的题型。所谓“总数量”可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。
【数量关系】
1份数量×份数=总量
总量÷一份数量=份数
【 解题思路】先求出总数量，再解决问题。
【例】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。问原来做791套衣服的布，现在可以做多少套衣服？
解：先求这批布总共多少米——3.2×791=2531.2（米）
再求现在可以做多少套——2531.2÷2.8=904（套）
综合算式：3.2×791÷2.8=904（套）
题型三：和差问题
【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。
【数量关系】
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大数=（和+差）÷2
小数=（和－差）÷2
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
解：直接套用公式——
甲班人数=（98+6）÷2=52（人）
乙班人数=（98-6）÷2=46（人）
题型四：和倍问题
【含义】已知两个数的和及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。
【数量关系】
总和÷（倍数+1）=较小数
总和-较小数=较大数
或 较小数×倍数=较大数
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树是杏树的3倍，求杏树和桃树各有多少棵？
解：先求杏树有多少棵——248÷（3+1）=62（棵）
再求桃树有多少棵——62×3=186（棵）
题型五：差倍问题
【含义】已知两个数的差及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。
【数量关系】
两个数的差÷（倍数-1）=较小数
较小数×倍数=较大数
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树度124棵，求杏树和桃树各有多少棵？
解：先求杏树有多少棵——124÷（3-1）=62（棵）
再求桃树有多少棵——62×3=186（棵）
题型六：倍比问题
【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出倍数，再用倍比方法算出要求的数。
【数量关系】
总量A÷数量A=倍数
数量B×倍数=总量B
【解题思路】先求出倍数，再利用倍比关系求解。
【例】100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解：先求倍数，3700千克是100千克的多少倍——3700÷100=37（倍）
再求可以榨油多少千克——40×37=1480（千克）
综合算式：40×（3700÷100）=1480（千克）
题型七：相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇的问题。
【数量关系】
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，问经过几小时两船相遇？
解：直接套用公式392÷（28+21）=8（小时）
题型八：追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者 在同一地点不同时出发，或者在不同地点不同时出发）作相向运动。在后面的行进速度快，在前面的行进速度慢，在一定时间内，后者追上了前者的问题。
【数量关系】
追及时间=追及路程÷（快速-慢速）
追及路程=（快速-慢速）×追及时间
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解：先求劣马先走了多少千米——75×12=900（千米）
再求好马几天能追上——900÷（120-75）=20（天）
综合算式：75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）
题型九：植树问题
【含义】按相等的距离，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中两个量，求第三个量的问题。
【数量关系】
线性植树 棵数=距离÷棵距+1
环形植树 棵数=距离÷棵距
方形植树 棵数=距离÷棵距-4
三角形植树 棵数=距离÷棵距-3
面积植树 棵数=面积÷（棵距×行距）
【解题思路】先弄清是哪种植树问题，再套用公式。
【例】一条河堤136米，每隔2米栽一棵柳树，头尾都栽，一共要栽多少棵柳树？
解：直接套用“线性植树”公式——
136÷2+1=68+1=69（棵）
题型十：年龄问题
【含义】已知一个人的年龄，根据已知条件求另一个人的年龄。
【数量关系】两人年龄差不变。
【解题思路】抓住“年龄差不变”的特点，转化为和差倍比问题求解。
【例】爸爸今年37岁，亮亮今年7岁，几年后爸爸年龄是亮亮的4倍？
解：抓特点，先求年龄差——37-7=30（岁）
转化为和差倍比问题——30÷（4-1）-7=3（年）
综合算式：（37-7）÷（4-1）-7=3（年）
题型十一：行船问题
【含义】关于船速、水速、逆水、顺水的航行问题。船速即船只在静水中航行的速度，水速指水流速度，船只顺水航行是船速与水速之和，船只逆水航行是船速与水速只差。
【数量关系】
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速
（顺水速度-逆水速度）÷2=水速
顺水速度=船速×2-逆水速度=逆水速度+水速×2
逆水速度=船速×2-顺水速度=顺水速度-水速×2
【解题思路】直接套用公式即可。
【例】一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水航行这段路程需用几小时？
解：直接套用公式——船速为320÷8-15=25（千米/小时）
船在逆水中的速度为25-15=10（千米/小时）
船逆水航行这段路程的时间为320÷10=32（小时）
题型十二：火车过桥问题
【含义】这是与列车行驶有关的问题，解答时注意列车车身的长度。
【数量关系】火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）÷车速
【解题思路】利用数量关系及其变式求解。
【例】一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
解：火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
先求火车三分钟行多少米——900×3=2700（米）
综合算式：900×3-2400=300（米）
题型十三：时钟问题
【含义】研究钟面上时针与分针的关系问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针呈夹角等。
【数量关系】
分针的速度是时针的12倍。
二者的速度差为11/12。
【解题思路】变通为“追及问题”或者“差倍问题”求解。
【例】从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合。
解：根据数量关系，每分钟分针比时针多走（1-1/12）=11/12格。4点整时，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为
20÷（1-1/12）≈22分
题型十四：盈亏问题
【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或者两次都有余，或者两次都不足的问题。
【数量关系】
一盈一亏，则有：
参加分配总人数=（盈+亏）÷分配差
两次都盈或两次都亏，则有：
参加分配总人数=（大盈-小盈）÷分配差
参加分配总人数=（大亏-小亏）÷分配差
【解题思路】分清是哪种盈亏问题，直接套用公式。
【例】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少个小朋友？有多少个苹果？
解：一盈一亏问题，直接套用公式——
先求有小朋友多少人：（11+1）÷（4-3）=12（人）
有多少个苹果：3×12+11=47（个）
题型十五：工程问题
【含义】研究工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系。
【数量关系】
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=工作量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）
【解题思路】解答问题的关键是把工作总量看做“1”，再套用公式。
【例】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
解：把此项工程看作单位“1”，那么甲每天完成1/10，乙每天完成1/15，两队合作每天完成（1/10+1/15），由此可列出算式 1÷（1/10+1/15）=1÷1/6=6（天）
题型十六：牛吃草问题
【含义】这个问题是大科学家牛顿提出的，这类问题的特点在于要考虑草边吃边长的因素。
【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×天数
【解题思路】关键是求草每天的生长量。
【例】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解：设每头牛每天吃草量为1，根据公式分5步解答：
求草每天的生长量：50÷（20-10）=5
求草原有草量=10天内总草量-10天内生长量
=1×15×10-5×10=100
求5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125
求多少头牛5天吃完草：125÷（5×1）=25（头）
题型十七：鸡兔同笼问题
【含义】这是古典的 算术问题，第一类是已知鸡兔共有多少只和多少只脚，求鸡兔各有多少只的问题；另一类是已知鸡兔总数和鸡脚与兔脚之差，求鸡兔各有多少只的问题。
【数量关系】
第一类问题：假设全都是鸡，则有
兔数=（实际脚数-2×鸡兔总数）÷（4-2）
假设全都是兔，则有
鸡数=（4×鸡兔总数-实际脚数）÷（4-2）
第二类问题：
假设全都是鸡，则有
兔数=（2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差）÷（4+2）
假设全都是兔，则有
鸡数=（4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差）÷（4+2）
【解题思路】分清是哪一类鸡兔同笼问题，然后套用公式即可。
【例】鸡兔同笼，共有35只头，94只脚，问鸡兔分别多少只？
解：假设笼子里全是兔子，则根据公式
鸡数=（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
兔数=94-23=12（只）
题型十八：商品利润问题
【含义】关于成本、利润、利润率、亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】
利润=售价-进价
利润率-（售价-进价）÷进价×100%
售价=进价×（1+利润率）
亏损=进货价-售价
亏损率=（进货价-售价）÷进货价×100%
【解题思路】利用公式及其变式即可解答。
【例】某商量的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？
解：设这种商品原价为“1”，则一月份售价为（1+10%），二月份售价为（1+10%）×（1-10%），所以二月份售价比原价下降了 1-（1+10%）×（1-10%）=1%
题型十九：存款利率问题
【含义】关于本金、利率、存期三个因素的问题。
【数量关系】
年（月）利率=利息÷本金÷存款年（月）数×100%
利息=本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和=本金+利息=本金×（1+年（月）利率×存款年（月）利率）
【解题思路】直接套用公式即可。
【例】大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长？
解：先求总利息是（1488-1200）元，
再求总利率为（1488-1200）÷1200
则存款月数为（1488-1200）÷1200÷0.8%=30（月）
题型二十：溶液浓度问题
【含义】关于溶剂（水或其他液体）、溶质、溶液、浓度几个量之间关系的问题。
【数量关系】
溶液=溶剂+溶质
浓度=溶质÷溶液×100%
【解题思路】利用公式及其变式，进行分析计算，即可解题。
【例】现有16%的糖水50克，要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？
解：直接根据公式 50×16%÷10%-50=30（克）
题型二十一：列方程问题
【含义】把题目中的未知数用字母X代替，列出等量关系式，解出X的问题。
【数量关系】方程等号左右两边是等量关系。
【解题思路】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
审：认真审题，找出已知条件和待求问题。
设：将未知数设为X。
列：根据已知条件，列出方程。
解：求解所列方程。
验：检验方程的等量关系及求解过程是否正确。
答：写答语，回答题目所问。
【例】甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？
解：设乙班有X人，则甲班有（90-X）人，
根据等量关系可以列如下方程
90-X=2X-30
解方程得X=40，从而得90-40=50
答：甲班50人，乙班40人。
end
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