一元二次方程解法的灵活运用（一元二次方程常见的四种解法及其适用对象）_方程_实数_解法

本文目录

• 一元二次方程常见的四种解法及其适用对象
• 怎么用适当的方法解一元二次方程
• 做一元2次方程应用题有哪些技巧
• 解一元二次方程的应用题的诀窍
• 一元二次方程1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法 的步骤解法及运用（适合初三数学）
• 一元二次方程应用题解题方法和技巧

一元二次方程常见的四种解法及其适用对象

一元二次方程常见的四种解法有:配方法，公式法，直接开方法，十字相乘法四种。其中形如:(x+a)^2=b的用直接开方法。配方法和公式法适合所有有解的一元二次方程，只不过通常都用公式法解这样比配方法更快更容易些。对于一些特殊的形如:x^2+bx+c=0，左边可以进行因式分解的则用十字相乘法更简便。

怎么用适当的方法解一元二次方程

　　首先，要把方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0(a≠0), 然后观察系数：　　

　　1、当b=c=0时，x1=x2=0；如3x^2=0.

　　2、当b=0时，ax^2+c=0 ；

　　(1)当ac》0时，方程无实数根；如2x^2+1=0.

　　(2)当ac《0时，利用平方根的意义求解，或运用平方差公式因式分解；如4x2-1=0. 可化为4x2=1，也可以化为(2x+1)(2x-1)=0, 再求解。

　　3、当c=0，ax2+bx=0 ，运用提取公因式法求解；如3x^2+2x=0, 可化为x(3x+2)=0.

　　4、根据判别式△=b^2-4ac选择解法：　

　　(1)当△《0时，方程无实数根；如x^2+2x+2=0, △=b^2-4ac=-4, 无实数根.

　　(2)当△=0时，运用完全平方公式求解；或根据公式：x1=x2=-b/(2a)求根；如，x^2-2x+1=0, 可化为(x-1)^2=0，也可以由x1=x2=-b/(2a)=1得解.

　　(3)当△=n^2》0时，运用十字相乘法因式分解；如，x^2+5x+4=0，△=b^2-4ac=9， 方程可化为(x+4)(x+1)=0. 这方面需要解题的经验做支持，而不是每次都要根据判别式来决定.

　　(4)当0《△≠n^2，且a=1时，建议使用配方法求解；如， x^2+2x-5=0, 配方可得(x+1)^2=6.

　　当0《△≠n2，且a≠1时，建议使用公式法求解， 这样的方程其实是最多地，比如2x^2+5x-2=0等.

　　有一种快速判断方程有两个不等的实数根的方法是：当ac《0时，方程必有两个不等的实数根；如， 5x^2-3x-1=0必有两个不等的实数根.

　　用一个思维导图，来总结用适当的方法解一元二次方程的内容：

　　最后强调一下，不论学习什么，归究到底，都是熟能生巧的道理。只有在解题实践中，多动脑筋，多做归纳，才能真正体用，用适当的方法解方程的精粹。

做一元2次方程应用题有哪些技巧

利用一元二次方程的特性解方程
如：
1、方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2= -b/a，X1*X2=c/a（也称韦达定理）
2、方程两根为X1,X2时,方程为:X²;-(X1+X2)X+X1X2=0
3、通过b²-4ac的值来判断一元二次方程有几个根
当b²-4ac＜0时 x无实数根
当b²-4ac≥0有实数根
.当b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
当b^2-4ac＞0时 x有两个不相同的实数根
4、利用标准式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数a≠0)
配方式：a(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a
两根式：a(x-x1)(x-x2)=0
用配方法解一元二次方程 口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
选择最简单的解法：
1、看是否可以直接开方解；
2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）；
3、使用公式法求解；
4、最后再考虑配方法

解一元二次方程的应用题的诀窍

一元二次方程的定义
一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 (a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
我们把 (a≠0)叫做一元二次方程的一般形式,特别注意二次项系数一定不为0,b、c可以为任意实数,包括可以为0,即一元二次方程可以没有一次项,常数项. (a≠0), (a≠0), (a≠0)都为一元二次方程.
3.一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有四种:(1)直接开平方法;(2)因式分解法;(3)配方法;(4)公式法.要根据方程的特点灵活选择方法,其中公式法是通法,可以解任何一个一元二次方程.
4.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为 .
△》0 方程有两个不相等的实数根.
△=0 方程有两个相等的实数根.
△《0 方程没有实数根.
上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.
5.一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程 (a≠0)的两个根是 ,那么 .
6.解应用题的步骤
(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
(3)找出相等关系,并用它列出方程;
(4)解方程求出题中未知数的值;
(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答.
【解题思想】
1.转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法.
运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题.在本章中,将解一元二次方程转化为求平方根问题,将二次方程利用因式分解转化为一次方程等.
2.从特殊到一般的思想
从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律,通过对特殊现象的研究得出一般结论,如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法,再如探索一元二次方程根与系数的关系等.
3.分类讨论的思想
一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想.
【经典例题精讲】
1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
3.一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.

一元二次方程1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法 的步骤解法及运用（适合初三数学）

一元二次方程解法：

一、直接开平方法

形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。

二、配方法

1.二次项系数化为1

2.移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。

3.配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。

4.利用直接开平方法求出方程的解。

三、公式法

现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。

四、因式分解法

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。

扩展资料：

一般地，式子b^2－4ac叫做一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b^2－4ac.

1、当Δ》0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；

2、当Δ＝0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；

3、当Δ《0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根。

一元二次方程应用题解题方法和技巧

一元二次方程应用题解题方法和技巧如下：

1、审，即审题。在应用题教学中，学生要想正确、快速地解答应用题，必须要掌握科学的审题方法。首先要仔细读题，吸收题设中的信息，去粗取精，把具有一定意义的关键词、句、式找出来。

细细品读，认真分析，深入挖掘隐含的信息，捕捉题目中的数量关系。其次要抽象数学模型，将题目类型化。

2、找，找相等关系。

应用图式找相等关系：图式是围绕某一主题，用知识结构和框架的形式事物间的关系，类事物的抽象概括，可以用来组织它是对一零散的信息和数据。

应用表格找相等关系：教师可以借助二维表格来收集和提炼信息，使复杂的数据关系能清晰直观地显示出来。

3、列，列方程。根据这个相等关系列出代数式，进而列出方程。

4、解，解方程。解这个方程，求未知数的值。解一元二次方程的方法一般有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，可以根据实际情况选择最简单的方法。

5、答，要对求出的解作出是否正确、合理的判断，要判断根是否准确，是否符合实际意义。