高中数学教学设计模板(高中数学基本不等式教学设计)_等比数列_不等式_公式
本文目录
- 高中数学基本不等式教学设计
- 高中数学三角函数教学设计
- 2020高中数学等比数列教案设计大全
- 高中数学基本不等式教案设计
高中数学基本不等式教学设计
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式。下面我为你整理了高中数学基本不等式教学设计,希望对你有帮助。
高中基本不等式教学设计
高中基本不等式教学反思
在新课讲解方面,我仔细研读教材,发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式,需要学生理解六字方针:一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活,不可能在一节课解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。
我设计从例一入手,第一小题就能说明“积定和最小”,第二小题说明“和定积最大”。通过这道例题的讲解,让学生理解“一正二定三等”。然后再利用这六字方针就最值。这是再讲解例二,让学生熟悉用基本不等式解题的步骤。然后让学生自己解题。
巩固练习中设计了判断题,让学生理解六字方针的内涵。还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习,让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。
课堂实施的过程中以学生为主体。包括课前预习,例题放手让学生做,还有练习让学生上台板书等环节,都让学生主动思考,并在发现问题的过程中展示典型错误,及时纠错,达到良好的效果。
高中数学三角函数教学设计
写好教案是保证教学取得成功,提高教学质量的基本条件。为了能够很好的帮助各位老师备课,下面是我分享给大家的高中数学三角函数教学设计,希望大家喜欢!
高中数学第一单元三角函数教学设计
第二十四教时
教材:倍角公式,推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的:继续复习巩固倍角公式,加强对公式灵活运用的训练;同时,让学生推导出和差化积和积化和差公式,并对此有所了解。
过程:
一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程:
例一、 已知 , ,tan = ,tan = ,求2 +
(《教学与测试》P115 例三)
解: ∴
又∵tan2 《 0,tan 《 0 ∴ ,
∴ ∴2 + =
例二、 已知sin cos = , ,求 和tan的值
解:∵sin cos = ∴
化简得: ∴
∵ ∴ ∴ 即
二、 积化和差公式的推导
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos =
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin =
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos =
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin =
这套公式称为三角函数积化和差公式,熟悉结构,不要求记忆,它的优点在于将“积式”化为“和差”,有利于简化计算。(在告知公式前提下)
例三、 求证:sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证:左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右边
∴原式得证
三、 和差化积公式的推导
若令 + = , = φ,则 , 代入得:
∴
这套公式称为和差化积公式,其特点是同名的正(余)弦才能使用,它与积化和差公式相辅相成,配合使用。
例四、 已知cos cos = ,sin sin = ,求sin( + )的值
解:∵cos cos = ,∴ ①
sin sin = ,∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
四、 小结:和差化积,积化和差
五、 作业:《课课练》P36—37 例题推荐 1—3
P38—39 例题推荐 1—3
P40 例题推荐 1—3
高中数学三角函数的诱导公式教学设计
1 教材分析
1.1 教材的地位与作用
本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§2.6节内容.它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展,又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据.是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带.求三角函数值是三角函数中的重要内容.诱导公式是求三角函数值的基本方法.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°~90”角的三角函数值问题,诱导公式的推导过程,体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法,反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式.这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义
1.2 教学重点与难点
1.2.1 教学重点
诱导公式的推导及应用
1.2.2 教学难点
相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.
2 目标分析
根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征,依据学生学习的心理规律和素质教育的要求,结合学生的实际水平,本节课的教学目标如下
2.1 知识目标
1)识记诱导公式.
2)理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明.
2.2 能力目标
1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数学的归纳转化思想方法.
2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.
3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和解决问题的实践能力.
2.3 情感目标
1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神,培养学生的创新意识和创新精神.
2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯,渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.
3 过程分析
3.1 创设问题情境,引导学生观察、联想,导入课题
1)提问:三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征.
2)板书:诱导公式(一).
sin(k·360°+α)=sinα,cos(k·360°+α)=cosα.
tan(k·360°+α)=tanα,cot(k·360°+α)=cotα(k∈Z)
结构特征:①终边相同的角的同一三角函数值相等.
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°~360°角的三角函数值问题.
教学设想 通过提问让学生温习、重视已有相关知识,为学生学习新知识作铺垫.
3)学生练习:试求下列三角函数值
sin1110°,sin1290°.
教学设想 由已有知识导出新的问题,为学习新知识创设问题情境,以引起学生学习需要和学习兴趣,激发学生的求知欲,启迪学生思维的火花.
4)介绍单位圆概念后,引导学生观察演示(一)并思考下列问题:
①210°能否用(180°+α)的形式表达(0°《α《90°)?(210°=180°+30°)
②210°与30°角的终边位置关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)
③设210°,30°角的终边分别交单位圆于点P,P’,则点P与P’的位置关系如何?(关于原点对称)
④设点P(x,y),则点P’的坐标怎样表示?
⑤sin210°与sin30°的值的关系如何?
教学设想 通过微机动态演示,引导学生发现210°与30°角的终边及其与单位圆交点关于原点对称关系,借助三角函数定义,寻找sin210°与sin30°值的关系,达到转化为求0°~90°角三角函数值的目的.
学生通过主动探索、发现解决问题的途径,体验和领会数形结合与归纳转化的数学思想方法.
5)导入课题
对于任意角α,sinα与sin(180°+α)的关系如何呢?试说出你的猜想.
3.2 运用迁移规律,引导学生联想、类比、归纳、推导公式
1)引导学生观察演示(二)并思考下列问题:
①α与(180°+α)角的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)
②设α与(180°+α)角的终边分别交单位圆于点P,P’,则点P与P’位置关系如何?(关于原点对称)
③设点P(x,y),那么点P’的坐标怎样表示?
④sinα与sin(180°+α),cosα与cos(180°+α)关系如何?
⑤tanα与tan(180°+α),cotα与cot(180°+α)关系如何?
⑥经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何?
2)板书诱导公式
sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα,
tan(180°+α)=tanα,cot(180°+α)=cotα.
结构特征:①函数名不变,符号看象限(把α看作锐角时).
②把求(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.
教学设想 激发学生做出猜想后,启发学生把特殊问题(求sin210°值)与一般问题进行类比,实现方法迁移,引导学生观察演示,发现角α与(180°+α)的终边及其与单位圆交点关于原点的对称关系,把求角(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.对学生进行归纳思维训练,培养学生归纳思维能力.
微机的动态演示,使学生对“α为任意角”有准确的认识,初步体验从特殊到一般的归纳推理形式,领会数学的归纳转化思想和方法.
3)基础训练题组一
求下列各三角函数值(可查表):
②试求sin的值
分析:
对于问题②学生可能出现的情况为:
sin=-sin(-210°),
或sin=sin(-30°).
(至此,大多数学生已无法再运算)
教学设想 在新的知识的基础上又导出新的未知,又一次创设问题情境,把学生的学习兴趣进一步推向高潮,激励学生要敢于迎接挑战、战胜困难、不断追求、陶冶情操、锻炼意志.
4)引导学生观察演示(三),并思考下列问题:
①30°与(-30°)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)
②设30°与(-30°)角的终边分别交单位圆于点P,P’,则点P与P’的位置关系如何?(关于x轴对称)
③设点P(x,y),则点P’的坐标怎样表示?
④sin(-30°)与sin30°的值关系如何?
教学设想 引导学生把求sin210°问题与sin(-30°)进行类比,实现方法迁移.通过微机动态演示,发现-30°与30°角的终边及其与单位圆交点关于x轴对称的关系.借助三角函数定义,寻找sin(-30°)与sin30°值的关系,达到转化为求0°~90°角三角函数的值的目的.
5)导入新问题:对于任意角α,sinα与sin(-α)的关系如何呢?试说出你的猜想?
6)引导学生观察演示(四)并思考下列问题:(设α为任意角)
①α与(-α)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)
②设α与(-α)角的终边分别交单位圆于点P,P’,则点P与P’位置关系如何?(关于x轴对称)
③设点P(x,y),则点P’的坐标怎样表示?
④sinα与sin(-α),cosα与cos(-α)关系如何?
⑤tanα与tan(-α),cotα与cot(-α)的关系如何?
7)学生分组讨论,尝试推导公式,教师巡视,及时反馈、矫正、讲评.
8)板书诱导公式
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα.
tan(-α)=-tanα,cot(-α)=-cotα.
结构特征:函数名不变,符号看象限(把α看作锐角)
把求(-α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.
9)基础训练题组(二):求下列各三角函数值(可查表)
③cos(-240°12’);④cot(-400°).
3.3 构建知识系统、掌握方法、强化能力
课堂小结:(以提问、填空形式让学生自己完成)
1)诱导公式:
sin(k·360°+α)=sinα.
cos(k·360°+α)=cosα.
tan(k·360°+α)=tanα.
cot(k·360°+α)=cotα.(k∈Z)
sin(180°+α)=-sinα.
cos(180°+α)=-cosα.
tan(180°+α)=tanα.
cot(180°+α)=cotα.
sin(-α)=-sinα.
cos(-α)=cosα.
tan(-α)=-tanα.
cot(-α)=-cotα.
2)公式的结构特征:函数名不变,符号看象限(把α看作锐角时)
3)方法及步骤:
教学设想 通过提问、填空的形式,引导学生概括归纳已有知识,形成知识系统,发现知识规律及其结构特征,深化对诱导公式内涵和实质的理解,强化记忆.
挖掘知识系统体现数学的归纳转化思想方法,培养学生的概括抽象能力,形成知识网络和方法网络.
4)能力训练题组:(检测学生综合运用知识能力)
5)课外思考题.
①求下列各三角函数值:
6)作业与课外思考题
作业:P162习题十三(1)—(6)
教学设想 通过能力训练题组和课外思考题检测学生综合运用知识的能力,培养学生的创造性思维能力,提高学生分析问题和解决问题的实践能力.
为学生课外留下“余音”,培养学生养成自觉学习、积极探索的良好学习习惯,为下一节课学习诱导公式(四)、(五)作准备.
4 教法分析
根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律,本节课采用了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法.
4.1 利用已有知识导出新的问题,创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发学生的求知欲,达到以旧拓新的目的.
4.2 由(180°+30°)与30°,(-30°)与30°终边对称关系的特殊例子,利用多媒体动态演示,学生对“α为任意角”的认识更具完备性,通过联想,引导学生进行问题类比、方法迁移,发现任意角α与(180°+α),-α终边的对称关系,进行从特殊到一般的归纳推理训练,学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性,培养学生的创新能力.
4.3 采用问题设疑,观察演示,步步深入,层层引发,引导联想类比,进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下,学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式),培养学生的创新意识和创新精神,培养学生的思维能力.
4.4 通过能力训练题组和课外思考题,把诱导公式(一)、(二)、(三)的应用进一步拓广,为演绎推导诱导公式(四)、(五)做好理论依据准备,把归纳推理和演绎推理有机结合起来,发展学生的思维能力.
5 评价分析
本节课教学过程中通过问题设疑,引导学生循序渐进的从特殊到一般进行联想、类比、归纳,发现数学公式,体现以教师为主导,学生为主体,积极思维的学习过程.
在问题类比、方法迁移、归纳推理的思维训练过程中,师生的信息交流畅通,反馈及时,评价及时,矫正及时,学生思维活跃,教学活动始终处于教师期望控制中.
5 教案设计说明
5.1 关于本节课教学指导思想
归纳推理是发现和获得知识的基本思维形式,拉普拉斯曾说:“发现真理的主要工具也是归纳和类比”.归纳思维在形成创新意识中具有特殊的重要的地位,归纳思维往往获得的是开拓性的创造(再创造).三角函数求值是三角函数中重要问题之一,诱导公式是解决此类问题的基本方法.教学过程中,通过问题设疑、多媒体动态演示等教学措施,创设问题情境,引导学生从特殊的、个别的属性,通过联想、类比、归纳出具有普遍的、一般的整体性质.体现了学生充分感受和理解知识的产生和发展过程,促使学生积极思维主动探索,勇于发现,敢于创新.通过从特殊到一般的归纳思维训练,学生主动地获得新的知识,并在获得知识的过程中,形成良好的思维品质,发展学生的思维能力.
5.2 关于教学过程的设计
1)重现已有相关知识,为学习新知识作好铺垫.
2)思维总是从问题开始的,在sin1290°的求值过程中,从已知到未知,引发新的问题,营造氛围,引起学生学习需要和学习兴趣,激发学生的求知欲.
3)数学的思想方法是数学素质的核心,由sin210°的求值过程,把未知转化为已知,引导学生发现推导诱导公式的方法和途径,领会数学的归纳转化思想方法.
4)通过多媒体直观动态的演示,从特殊到一般完成所有情况的分类,引导学生联想,进行问题类比、方法迁移、归纳推理出具有普遍性的结论,形成公式,进行归纳思维训练.
5)通过分析诱导公式的结构特征,强化对诱导公式的理解和记忆,深刻领会诱导公式的内涵和实质.构建知识系统,培养学生的概括抽象能力.
6)通过基础训练题组和课外思考题的练习,掌握解决问题的方法,形成技能,提高学生分析问题和解决问题的能力.
高中数学二倍角的三角函数教案设计
一、知识与技能
1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式,了解它们的内在联系;揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.掌握公式及其推导过程,会用公式进行化简、求值和证明。
3.通过公式推导,掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系,培养逻辑推理能力。
二、过程与方法
1.让学生自己由倍角公式导出半角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;
2.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
三、情感、态度与价值观
1.通过公式的推导,了解半角公式和倍角公式之间的内在联系,从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
2.培养用联系的观点看问题的观点。
【教学重点与难点】:
重点:半角公式的推导与应用(求值、化简、证明)
难点:半角公式与倍角公式之间的内在联系,以及运用公式时正负号的选取。
【学法与教学用具】:
1. 学法:
(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学方法:观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
引导学生复习二倍角公式,按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式,课堂上在老师引导下,以学生为主体,分析公式的结构特征,会根据公式特点得出公式的应用,用公式来进行化简证明和求值,老师为学生创设问题情景,鼓励学生积极探究。
3. 教学用具:多媒体、实物投影仪.
【授课类型】:新授课
【课时安排】:1课时
【教学思路】:
一、创设情景,揭示课题
二、研探新知
四、巩固深化,反馈矫正
五、归纳整理,整体认识
1.巩固倍角公式,会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。
2.熟悉“倍角“与“二次“的关系(升角--降次,降角--升次).
3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
4.半角公式左边是平方形式,只要知道角终边所在象限,就可以开平方;公式的“本质“是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5.注意公式的结构,尤其是符号.
六、承上启下,留下悬念
七、板书设计(略)
八、课后记:略
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2020高中数学等比数列教案设计大全
教案中对每个课题或每个课时的教学内容,教学步骤的安排, 教学 方法 的选择,板书设计,教具或现代化教学手段的应用,各个教学步骤教学环节的时间分配等等,都要经过周密考虑,精心设计而确定下来,体现着很强的计划性。接下来是我为大家整理的2020高中数学等比数列教案设计大全,希望大家喜欢!
2020高中数学等比数列教案设计大全一
教学目标
知识与技能:理解并掌握等比数列的定义和通项公式,并加以初步应用。
过程与方法:通过概念、公式和例题的教学,渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想,着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力,并进—步培养运算能力,分析问题和解决问题的能力,增强应用意识。
情感态度与价值观:在传授知识培养能力的同时,培养学生勇于探求,敢于创新的精神,同时帮助学生树立克服困难的信心,培养学生良好的学习习惯意志品质。
教学重点和难点
教学重点:等比数列的概念的形成与深化;等比数列通项公式的推导及应用。
教学难点:等比数列概念深化:体现它是一种特殊函数,等比数列的判定、证明及初步应用。
教学过程
(一)等比数列的概念
1、创设情境,引入概念
引例1: 国际象棋 起源于印度,关于国际象棋有这样一个 传说 ,国王要奖励国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒麦子,第三个格子上放4粒麦子,第四个格子上放8粒麦子,依次类推,直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗?
所构成的数列:1,2,4,8,16,32,…
引例2:某轿车的售价约36万元,年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%),那么该车从购买当年算起,逐年的价值依次为:
引例3:《庄子·天下篇》曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
如果把“一尺之棰”看成单位”1”,你能用一个数列来表达这句话的含义吗?“一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完”
等比数列:一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。(q≠0且an ≠0 )
2、抓住本质,理解概念
试判断下列数列是不是等比数列,如果是求出公比。
(1) 1,3,9,27,81,243,…(公比为3)
(2) 1,1,1,1,... (公比为1)
(3) a, a, a, a,…(不一定)
(4) 1, 6, 36, 0,…(不是)
(5) ,3,6,12… …
(二)、等比数列通项公式的推导
演绎推理论证(累乘法)
设a1,a2,a3…是公比为q的等比数列,则由定义得:
……………………………………(1)
……………………………………(2)
……………………………………(n-1)
问:结合求等差数列的通项公式的方法,如何求得等比数列的通项公式?
由定义式得:(n-1)个等式
2020高中数学等比数列教案设计大全二
教材分析:
1、内容简析:
本节主要内容是等比数列的概念及通项公式,它是继等差数列后有一个特殊数列,是研究数列的重要载体,与实际生活有密切的联系,如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决,在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想,在高考中占有重要地位。
2、教学目标确定:
从知识结构来看,本节核心内容是等比数列的概念及通项公式,可从等比数列的“等比”的特点入手,结合具体的例子来学习等比数列的概念,同时,还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上,导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标(三维目标):
第一课时:
(1)理解等比数列的概念 ,掌握等比数列的通项公式及公式的推导
(2)在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想,提高学生观察、归纳、猜想、证明等 逻辑思维 能力
(3)通过对等比数列通项公式的推导,培养学生发现意识、创新意识
第二课时:
(1)加深对等比数列概念理解,灵活运用等比数列的定义及通项公式,了解等比中项概念,掌握等比数列的性质
(2)运用等比数列的定义及通项公式解决问题,增强学生的应用
3、教学重点与难点:
第一课时:
重点:等比数列的定义及通项公式
难点:应用等比数列的定义及通项公式,解决相关简单问题
第二课时:
重点:等比中项的理解与运用,及等比数列定义及通项公式的应用
难点:灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题
学情分析:
从整个中学数学教材体系安排分析,前面已安排了函数知识的学习,以及等差数列的有关知识的学习,但是对于国际象棋 故事 中的问题,学生还是不能解决,存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突,产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法,于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。
高一学生正处于从初中到高中的过度阶段,对数学思想和方法的认识还不够,思维能力比较欠缺,他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时,高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此,本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律,另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。
多数学生愿意积极参与,积极思考,表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生,让学生在参与的过程中,学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。
教法选择与学法指导:
由于等比数列与等差数列仅一字之差,在知识内容上是平行的,可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上,牢固掌握数列的相关知识。因此,在教法和学法上可做如下考虑:
1、教法:采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法
教法构思如下:提出问题 引发认知冲突 观察分析 归纳概括 得出结论 总结 提高。在教师的精心组织下,对学生各种能力进行培养,并以促进学生发展,又以学生的发展带动其学习。同时,它也能促进学生学会如何学习,因而特别有利于培养学生的探索能力。
2、学法指导:
学生学习的目的在于学会学习、思考,达到创新的目的,掌握科学有效的 学习方法 ,可增强学生的学习信心,培养其学习兴趣,提高学习效率,从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导:
把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊到一般的方法。其通项公式 是以n为字变量的函数,可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。
注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和深刻性的目的。
教学过程设计:
第一课时
1、创设情境,提出问题 (阅读本章引言并打出幻灯片)
情境1:本章引言内容
提出问题:同学们,国王有能力满足发明者的要求吗?
引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为:
1,2, ……, (1)
于是发明者要求的麦粒总数是
情境2:某人从银行贷款10000元人民币,年利率为r,若此人一年后还款,二年后还款,三年后还款,……,还款数额依次满足什么规律?
10000(1+r),10000 ,10000 ,…… (2)
情境3:将长度为1米的木棒取其一半,将所得的一半再取其一半,再将所得的木棒继续取其一半,……各次取得的木棒长度依次为多少? …… (3)
问:你能算出第7次取一半后的长度是多少吗?观察、归纳、猜想得
2、自主探究,找出规律:
学生对数列(1),(2),(3)分析讨论,发现共同特点:从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母 表示,即 。
如数列(1),(2),(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,1+r,
点评:等比数列与等差数列仅一字之差,对比知从第二项起,每一项与前一项之“差”为常数,则为等差数列,之“比”为常数,则为等比数列,此常数称为“公差”或“公比”。
3、观察判断,分析总结:
观察以下数列,判断它是否为等比数列,若是,找出公比,若不是,说出理由,然后回答下面问题:
1,3,9,27,……
……
1,-2,4,-8,……
-1,-1,-1,-1,……
1,0,1,0,……
思考:①公比 能为0吗?为什么?首项能为0吗?
②公比 是什么数列?
③ 数列递增吗? 数列递减吗?
④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式:
这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。
选题分析;因为等差数列公差 可以取任意实数,所以学生对公比 往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况,以致于在不为具体数字(即为字母运算)时不会讨论以上两种情况,故给出问题以揭示学生对公比 有防患意识,问题③是让学生明白 时等比数列的单调性不定,而 时数列为摆动数列,要注意与等差数列的区别。
备选题:已知 则 …… ,……成等比数列的从要条件是什么?
4、观察猜想,求通项:
方法1:由定义知道 ……归纳得:等比数列的通项公式为:
(说明:推得结论的这一方法称为归纳法,不是公式的证明,要想对这一方式的结论给出严格的证明,需在学习数学归纳法后完成,现阶段我们只承认它是正确的就可以了)
方法2:迭代法
根据等比数列的定义有
……
方法3:由递推关系式或定义写出: …… ,通过观察发现 …… ……
,即:
(此证明方法称为“累商法”,在以后的数列证明中有重要应用)
公式 的特征及结构分析:
2020高中数学等比数列教案设计大全三
(一)教学目标
1`.知识与技能:理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式;理解这种数列的模型应用.
2.过程与方法:通过丰富实例抽象出等比数列模型,经历由发现几个具体数列的等比关系,归纳出等比数列的定义,通过与等差数列的通项公式的推导类比,探索等比数列的通项公式.
3.情态与价值:培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.
(二)教学重、难点
重点:等比数列的定义和通项公式
难点:等比数列与指数函数的关系
(三)学法与教学用具
学法:首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型,从而归纳出等比数列的定义;与等差数列通项公式的推导类比,推导等比数列通项公式。
教学用具:投影仪
(四)教学设想
分析书上的四个例子,各写出一个数列来表示
四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …
②1, , , ,…
③1,20 ,202 ,203 ,…
④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984,10000×1.01985
观察四个数列:
对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于
对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20
对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198
可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.
于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)
因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2, ,20,1.0198.
与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等差中项,这时,a,b一定同号,G2=ab
在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a2=a1q
a3=a2q=(a1q)q=a1q2
a4=a3q=(a1q2)q=a1q3
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高中数学基本不等式教案设计
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。接下来是我为大家整理的高中数学基本不等式教案设计,希望大家喜欢!
高中数学基本不等式教案设计一
教材分析
本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的,作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用,研究最值问题,此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,因此它也是对学生进行情感价值观 教育 的好素材,所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 通过本节学习体会数学来源于生活,提高学习数学的乐趣。
课程目标分析
依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况,特确定如下目标:
1、知识与能力目标:理解掌握基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念,学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与 方法 目标:按照创设情景,提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、 总结 、抽象概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的 学习方法 ,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索基本不等式性质,体会学习数学规律的方法,体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标:通过问题情境的设置,使学生认识到数学是从实际中来,培养学生用数学的眼光看世界,通过数学思维认知世界,从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析
重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式 的证明过程及应用。
难点:1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教法分析
本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的 教学方法 ,以学生为主体,以基本不等式为主线,从实际问题出发,放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段,加深学生对基本不等式的理解。
教学准备
多媒体课件、板书
教学过程
教学过程设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。
具体过程安排如下:
创设情景,提出问题;
设计意图:数学教育必须基于学生的“数学现实”,现实情境问题是数学教学的平台,数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实,并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。
你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系,抽象出不等式 。在此基础上,引导学生认识基本不等式。
二、抽象归纳:
一般地,对于任意实数a,b,有 ,当且仅当a=b时,等号成立。
你能给出它的证明吗?
学生在黑板上板书。
特别地,当a》0,b》0时,在不等式 中,以 、 分别代替a、b,得到什么?
设计依据:类比是学习数学的一种重要方法,此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源,突破了重点和难点,而且感受了其中的函数思想,为今后学习奠定基础.
答案: 。
【归纳总结】
如果a,b都是正数,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。 其中 称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数。
三、理解升华:
1、文字语言叙述:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式
已知a,b是正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,A与G有无确定的大小关系?
两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述:
若 ,则有 ,当且仅当a=b时, 。
怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论,交流看法,师生总结)
“当且仅当a=b时,等号成立”的含义是:
高中数学基本不等式教案设计二
一、教材分析
1、本节教材的地位和作用
“基本不等式” 是必修5的重点内容,在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的 热点 。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质。
2、 教学目标
(1)知识目标:探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。
(2)能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。?
(3)情感目标:培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
3、教学重点、难点
根据课程标准制定如下的教学重点、难点
重点: 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘,用基本不等式求最值。
二、教法说明
本节课借助几何画板,使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景,激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析;让学生边议、边评;组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣,让学生的潜能、创造性最大限度发挥,使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、学法指导
为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体,教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题,感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力,让学生学会学习。
四、教学设计
◆运用2002年国际数学家大会会标引入
◆运用分析法证明基本不等式
◆不等式的几何解释
◆基本不等式的应用
1、运用2002年国际数学家大会会标引入
如图,这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。(展示风车)
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形,它们的面积之和是S’=_
从图形中易得,s≥s’,即
问题1:它们有相等的情况吗?何时相等?
问题2:当 a,b为任意实数时,上式还成立吗?(学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
一般地,对于任意实数a、b,我们有
当且仅当(重点强调)a=b时,等号成立(合情推理)
问题3:你能给出它的证明吗?(让学生独立证明)
设计意图
(1)运用2002年国际数学家大会会标引入,能让学生进一步体会中国数学的历史悠久,感受数学与生活的联系。
(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系,引入基本不等式很直观。
(3)三个思考题为学生创造情景,逐层深入,强化理解.
2、运用分析法证明基本不等式
如果 a》0,b》0 ,
用 和 分别代替a,b。可以得到
也可写成
(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)
问题4:你能用不等式的性质直接推导吗?
要证 = 1 GB3 ①
只要证 = 2 GB3 ②
要证② ,只要证 = 3 GB3 ③
要证 = 3 GB3 ③ ,只要证 = 4 GB3 ④
显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.
(强调基本不等式取等的条件“等”)
设计意图
(1)证明过程课本上是以填空形式出现的,学生能够独立完成,这也能进一步培养学生的自学能力,符合课改精神;
(2)证明过程印证了不等式的正确性,并能加深学生对基本不等式的理解;
(3)此种证明方法是“分析法”,在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解,此处有必要让学生初步了解。
3、不等式的几何解释
如图,AB是圆的直径,C是AB上任一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则CD= ,半径为
问题5: 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? (学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
设计意图
几何直观能启迪思路,帮助理解,因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。
4、基本不等式的应用
例1.证明
(学生自己证明)
设计意图
(1)这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程;
(2)学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式;
(3)此例不是课本例题,比课本例题简单,这样,循序渐进, 有利于学生理解不等式的内涵。
例2:(1)把36写成两个正数的积,当两个正数取什么值时,它们的和最小?
(2)把18写成两个正数的和,当两个正数取什么值时,它们的积最大?
(让学生分组合作、探究完成)
高中数学基本不等式教案设计三
课标要求
知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;
情感目标:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣; 识记 理解 应用 综合 知识点一:
基本不等式及其推导
过程 ∨ 知识点二:
基本不等式的应用 ∨ 目标设计 1.通过从不同角度探索不等式 的证明过程,使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;
2.掌握基本不等式解决最值问题,并理解运用基本不等式 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。 教学情境一:
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,
颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。
问题1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
分析:将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
我们考虑4个直角三角形的面积的和是 ,正方形的面积为 。
由图可知 ,即 .
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有 。
新知:若 ,则
教学情境二:
先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,
再用这两个三角形拼接构造出一个矩形
(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).
假设两个正方形的面积分别为 和 ( )
问题2:考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?
新知:若 ,则
问题3:你能用代数的方法给出它们的证明吗?
证明:因为 ,即 (当 时取等号)
(在该过程中,可发现 的取值可以是全体实数)
证明:(分析法):由于 ,于是要证明 ,
只要证明 ,
即证 ,即 ,
所以 ,(当 时取等号)
【板书】两个重要不等式
若 ,则 (当且仅当 时,等号成立)
若 ,则 (当且仅当 时,等号成立)
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