大家好！本文和大家分享一道2014年北京高考数学真题。这是一道考查导数与函数单调性、导数与函数最值的问题，难度不算大，而题目的分值达到了13分，所以想考上好的大学，这题不能丢分。接下来我们一起来看一下这道题。
先看第一小问：证明f(x)≤0。
要证明f(x)≤0，只需要证明f(x)的最大值小于等于零即可，所以接下来就是求函数f(x)在(0,π/2)上的最大值。
先对f(x)求导，得到f'(x)=-xsinx。由于函数f(x)的定义域是[0,π/2]，所以-x＜0，而sinx＞0，故f'(x)=-xsinx＜0，即f(x)在[0,π/2]上是减函数，所以f(x)的最大值为f(0)=0·cos0-sin0=0。故f(x)≤0。
再看第二小问：求a的最大值和b的最小值。
由于a＜sinx/x＜b，所以求a的最大值实际上就是求sinx/x的最小值，所以我们可以通过构造新的函数来解决。
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令g(x)=sinx/x，则g'(x)=(xcosx-sinx)/x^2，由(1)知，xcosx-sinx＜0在(0,π/2)上恒成立，故g'(x)＜0，即g(x)在(0,π/2)上是减函数，所以g(x)＞g(π/2)=2/π。故a的最大值为2/π。
要求b的最小值，实际上也就是求sinx/x的最大值。但是根据前面的分析，g(x)＜g(0)，而g(0)显然是没法直接求值。不过此时sinx/x的分子分母都为零，所以可以用洛必达法则来求g(0)。即当x趋近于0时，将分子分母同时求导，从而得到g(0)=1，即g(x)＜1，于是b的最小值为1。
洛必达法则可以求出答案，但是很多同学不会用，下面再介绍一种不用洛必达法则的方法。
令h(x)=sinx-bx，则h'(x)=cosx-b。显然，当b≥1时，h'(x)≤0，即h(x)是减函数，则有h(x)＜h(0)=sin0-b·0=0，即sinx-bx＜0恒成立，故sinx/x＜b恒成立。
当b＜1时，由前面的分析知，sinx/x在(0,π/2)上有g(x)＞2/π，所以有2/π＜b＜1，故h'(x)=0在(0,π/2)上有唯一解x0。由于h'(x)在(0,π/2)上是减函数，所以当0＜x＜x0时，h'(x)＞0，故有h(x)＞h(0)=0，从而得到sinx/x＞b，与已知条件矛盾。所以b的最小值为1。
第二小问完整过程见下图：
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
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