刘徽【中国魏晋时期魏国数学家，中国传统数学理论的奠基者】_算术_公式_九章

刘徽简介

刘徽（约225年－约295年），中国魏晋时期魏国数学家，中国传统数学理论的奠基者。

梁敬王刘定国之孙菑乡侯刘逢喜的后裔。

淄乡（今山东邹平）人，或今山东淄博淄川人（白尚恕考证）。

生平不详。

魏景元四年（263年）撰《九章算术注》十卷，其第十卷“重差”为自撰自注，后以《海岛算经》为名单行。

又撰《九章重差图》一卷，已佚。

刘徽在《九章算术注》中定义了许多重要数学概念，以演绎逻辑为主要方法全面证明了《九章算术》的算法，驳正了其中的错误或不精确之处。

他总结了《算数书》、《九章算术》成书时代就使用的出入相补原理，发展了率概念和齐同原理，认为后者是“算之纲纪”。

他在世界数学史上首次将极限思想和无穷小分割方法引入数学证明，证明了《九章算术》的圆面积公式和他自己提出的刘徽原理。

刘徽实事求是，学风严谨，对自己无法解决的问题，坦诚直述，寄希望于后学，表示“以俟能言者”。

生平

刘徽为《九章算术》作注，于三国魏景元四年（263年）成书（《晋书·律历志》；“魏陈留王景元四年，刘徽注《九章算术》。

”共九卷），其中他提出用割圆术计算圆周率的方法，以内接正六边形开始，逐次倍加边数的方法，逐步逼近圆周率。

《九章算术》仅以π=3，刘徽则计算出正192边形的面积，先得到圆周率的近似值为 π = 157/50 = 3.14，和晋武库王莽铜律嘉量比较，觉得“此术微小”，于是再用圆周率捷法计算出正3072边形的面积，求得 π = 3927/1250 = 3.1416 （吴文俊 主编 《中国数学史大系》 第三卷 东汉三国 第163-164页）。

作此书注时，他还依据其“割补术”为证勾股定理，另辟蹊径作青朱出入图。

图虽失传，但据其“出入相补、以盈补虚”原理，后人参照书中类似方法还原了此图。

刘徽的青朱出入图

刘徽的注释兼用图形和模型作说明，以图形相互拼凑方法解决各种面积计算问题，相当于一般平面几何学中所用的平移与叠合的方法；并用直截面积的方法来计算立体体积。

他指出《九章算术》计算球体体积方法错误，并引入了“牟合方盖”（垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积）这一著名的几何模型，认为只有“牟合方盖”与球体积之比才正好等于正方形与其内切圆的面积之比，也就是：

球体积：牟合方盖体积 π:4

但刘徽没有给出牟合方盖的体积公式，所以也就得不出球体的体积公式。

刘徽并在《九章算术注》提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，以多达4次的观测，测量山高水深等数值。

在唐代，有关重差术的注文被抽出单行，因其第一题是测量海岛高度和距离的问题，故题为《海岛算经》，成为《算经十书》之一。

刘徽创造的四次重差观测术，被吴文俊称为“使中国测量学达到登峰造极的地步”（吴文俊主编 《中国数学史大系》第三卷 248页），美国数学家弗兰克·斯委特兹赞誉这使得“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”。

贡献

割圆术

刘徽创造的运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法。

《九章算术》提出圆面积公式："半周半径相乘得积步"。

在刘徽之前是将圆内接正12边形分割拼补成一个长为圆内接正六边形周长之半，宽为圆半径的长方形，近似推断这个公式的。

刘徽指出此“合径率一而外周率三”，极不准确。

为了严格证明这个公式，他首先从圆内接正6边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形的面积与圆面积之差越小，“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”另一方面，这些正多边形每边外有一余径，以边长乘余径，加到相应的正多边形上，则大于圆面积；然而，当正多边形与圆周合体时，“则表无余径，表无余径，则幂不外出矣。

”这就从上界和下界两个方面证明了圆面积是两个多边形面积序列的极限。

然后，将与圆合体的正多边形分割成无限多个以每边为底，以圆心为顶点的等腰三角形。

由于以一边长乘半径，等于每个三角形面积的两倍，“故以半周乘半径而为圆幂”，从而完成了圆面积公式的证明。

刘徽指出，上述圆面积公式中的“周径，谓至然之数，非周三径一之率也”。

刘徽割圆术原理的示意图

刘徽原理

刘徽原理说：在堑堵（斜解一长方体，得二堑堵）中，阳马与鳖腝（斜解一堑堵，得一阳马、一鳖腝）的体积之比恒为2比1（见下图），

鳖腝（左）、阳马（中）、堑堵（右）

从而将多面体体积理论建立在无穷小分割基础之上，实际上考虑了希尔伯特的23个数学问题（见希尔伯特问题）（1900）的第三问题。

他深刻认识了截面积原理，即祖暅原理或西方17世纪的卡瓦列里原理（见B.卡瓦列里），指出《九章算术》球体积公式的错误，设计了牟合方盖，指出解决球体积的正确途径。

他在“开方不尽”时创造求“微数”的方法，以十进分数逼近无理根，开十进小数之先河，也是求圆周率精确值的计算基础。

他认为数学像一株“枝条虽分而同本干”的大树，发自“规矩、度量可得而共”这个端，形成一个“约而能周，通而不黩”的理论体系。

关于解决球体积的设想

《九章算术》开立圆术所用的球体积公式相当于 ， 刘徽指出这个公式是错误的，其原因在于当时错误地把球与外切圆柱体积之比看成为3∶4。

刘徽设计了一个牟合方盖(两个相等的圆柱体正交所得公共部分，(见下图)

刘徽最先提出的“牟合方盖”图形 牟合方盖（李荫国制作）。

图片来源：《中国大百科全书》（第二版）

提出球与牟台方盖的体积之比才是π∶4，指出了解决球体积公式的正确途径。

但他未能求出牟合方盖的体积。

然而 刘徽为人谦虚，相信后学，表示“以俟能言者”。

二百年后， 祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理（即祖暅原理），求出了牟合方盖的体积，得出了正确的球体积公式。

刘徽在证明羡除（楔形体）体积公式时，提出了“上连无成不方，故方锥与阳马同实”的论断，他还提出圆锥、圆亭分别与其外切方锥、方亭体积之比为π∶4，从而证明了它们的体积公式。

刘徽的这些思想为后来祖暅原理的完成作了准备。

此外， 刘徽还提出圆锥与方锥侧面积之比为π∶4的论断，从而求出了圆锥侧面积公式。

关于率的应用

刘徽给出率的定义是：“凡数相与者谓之率”。

他把分数看成两个量相与，指出率具有“粗者俱粗，细者俱细”等性质，从而可以“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”，认为它们是数学运算的纲纪。

并提出“凡九数以为篇名，可以广施诸率”，而《九章算术》所提出的今有术──“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”是普遍方法。

他用率特别是用今有术注解了《九章算术》的大部分术文，近200个问题。

他认为，只要能根据问题的数量关系找出各物的率(因物成率)，并“平其偏颇，齐其参差”，则无不归于今有术。

所谓“平其偏颇，齐其参差，”就是齐同原理。

刘徽不仅用齐同原理论证了分数运算、一般比例、连锁比例和比例分配问题（多集中在方田、粟米、衰分、均输诸章中），也论证了盈不足术、方程术和勾股、测望类问题解决的正确性。

刘徽注《九章算术》卷首

刘徽在数学上贡献极多。

他发展了天文观测中的重差术，说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰重差也。

”他在《海岛算经》中提出重表法、连索法、累矩法三种基本方法，总结出“孤离者三望，离而又旁求者四望”。

刘徽在开方不尽的问题中提出求微数的思想，这方法与后来求无理根近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生。

在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致，他提出整行整行相减不影响方程组的解（“举率以相减，不害余数之课”）的论断，作为线性方程组解法的基础；他还将衰分术用于线性方程组解法，创造了方程新术。

他指出“五家共井”的解是“举率以言之”，在中国数学史上第一次提出不定方程问题，他还建立了等差级数前n项和公式（相当于S=[α+(n-1)d/2]n，式中α、d分别为首项、公差）。

此外，他改进了重今有、勾股容方、容圆以及某些盈不足、商功和勾股问题的解法。

刘徽认为数学所探讨的范围没有止境，但是并不是难于研究的，因为它的方法都是来自于客观世界的“规矩”（空间形式）和“度量”（数量关系）的统一。

刘徽通过“观阴阳之割裂，总算术之根源”，深刻认识了数学的精理。

他认为“事类相推，各有攸归”，因此，数学像一株大树虽然分成许多枝条却有同一个本干的原因，是“发其一端”，有同一本源，形成了一个体系。

刘徽提出并定义了许多数学概念，如幂(面积)：“凡广从相乘谓之幂”；方程（即线性方程组）：“程，课程也。

群物总杂，各列有数，总言其实。

令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。

行之左右无所同存，且为有所据而言耳”；正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”：等等，从而改变了自墨学衰微以来靠约定俗成确定数学概念的涵义的作法。

刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。

他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。

尽管刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色，包括概念和判断，并以数学证明为其联系纽带的理论体系。

后世纪念

刘徽的卓越成就受到后人的重视，宋徽宗时代为恢复数学教学制度，便追封了部分历代的天算家，其中便有刘徽。

（《宋史·礼志》“自昔著名算数者画像两庑，请加赐五等爵，随所封以定其服。

……魏刘徽淄乡男……”）